5.3.2: FRESNEL-formules (2024)

Normale incidentie

Bij normale incidentie zijn \(\theta=0\) en \(\theta^{\prime}=0\) en de coëfficiënten geldig

\[
\begin{uitgelijnd}
r_{\perp} &=\frac{n-n^{\prime}}{n+n^{\prime}} \\
r_{\|} &=\frac{n^{\prime}-n}{n+n^{\prime}} \\
t_{\perp} &=\frac{2 n}{n+n^{\prime}} \\
t_{\|} &=\frac{2 n}{n+n^{\prime}}
\end{uitgelijnd}
\]

Je kunt zien dat \(r_{\|}=-r_{\perp}\) en dat \(t_{\|}=t_{\perp}\). Bij normale inval is het invalsvlak niet gedefinieerd (de golfvector en de normaal op het grensvlak vallen in richting samen) en de vergelijkingen reageren door te zeggen dat er geen bevoorrechte richting is, wat wordt weerspiegeld in de transmissiecoëfficiënten. Het negatieve teken van de reflectiecoëfficiënten hangt af van de manier waarop het referentiesysteem is gekozen (parallel, loodrecht). Eén stukje informatie: als \(n=1\) en \(n^{\prime}=1.5\) bij normale incidentie hebben we

\[
\begin{uitgelijnd}
r_{\|} &=-r_{\perp}=0,2 \\
t_{\|} &=t_{\perp}=0,8
\end{uitgelijnd}
\]

Geval \(n^{\prime}>n\) met schuine inval, Brewster-hoek

In dit geval zien de reflectie- en transmissiecoëfficiënten als functie van de invalshoek eruit als Figuur 5.6. Het complementaire gedrag van de reflectie- en transmissiecoëfficiënten is te rechtvaardigen op grond van het behoud van energie, en verifieerbaar door door glas een object naast ons te observeren en een ander object aan de andere kant, in de twee gevallen van figuur \(5.7 \) (normaal en begrazingsincidentie). Met andere woorden: normaal glas kan worden gebruikt als perfecte spiegel bij incidenten dichtbij het maaiveld (hoewel dit onpraktisch is).

Er is een coëfficiënt waarvan de waarde voor een bepaalde hoek door nul gaat, die we de BREWSTER-hoek zullen noemen en \(\theta _{B}\) zullen aanduiden. Het is de hoek waarvoor \(r_{\|}\left(\theta_{B}\right)=0\). Als we terugkeren naar de uitdrukking voor \(r_{\|}\) krijgen we de volgende voorwaarde voor \(\theta_{B}\)

\[
n^{\prime} \cos \theta_{B}=n \cos \theta_{B}^{\prime} \notag
\]

die samen met de wet van SNeLL moet worden geverifieerd. Als we de naleving van beide opleggen, verkrijgen we dat

\[
\tan \theta_{B}=\frac{n^{\prime}}{n} \notag
\]

Als \(r_{\|}=0\) dan \(R_{\|}=0\), zodat het gereflecteerde licht onder de BREWSTER-hoek altijd een rechtlijnige polarisatie heeft en volledig loodrecht op het invalsvlak staat, ongeacht de toestand polarisatie van het invallende licht. We hebben daarom een ​​methode om rechtlijnig gepolariseerd licht te construeren, zelfs uit natuurlijk licht. Aan de andere kant is de bepaling van de BREWSTER-hoek equivalent aan de bepaling van een bekende brekingsindex.

In het algemeen geldt dat wanneer \(n^{\prime}>n\) de reflectie- of transmissiecoëfficiënten reële getallen zijn, dus de faseverschuiving kan alleen 0 of \(\pi\) zijn. Als gevolg hiervan wordt licht, als het invalt met rechtlijnige polarisatie, doorgelaten of gereflecteerd met rechtlijnige polarisatie. Maar de azimut van het doorgelaten of gereflecteerde licht zal in het algemeen verschillen van die van het invallende licht, vanwege de relaties tussen loodrechte en parallelle coëfficiënten. De verandering in azimut hangt af van de betrokken brekingsindices, dus deze kan worden gebruikt om apparaten te ontwerpen voor het meten van de brekingsindex.

Geval \(n^{\prime}

In dit geval worden de reflectiecoëfficiënten 1 voordat de graasinval (want \(\left.\theta=\theta_{C}\right) . \theta_{C}\) de kritische hoek wordt genoemd en voldaan wordt aan \( n \sin \theta _{C}=n^{\prime}\)

Het probleem is dat we voor \(\theta>\theta _{C}\) \(\theta^{\prime}\) niet kunnen weten en daarom kunnen we de reflectie- en transmissiecoëfficiënten niet berekenen met behulp van de formules FRESNEL. Aangezien het fenomeen totale reflectie wordt genoemd, geldt \(\mathbf{T}=0 ?\)? De ecM en zijn randvoorwaarden zeggen nee, omdat deze een aanvulling moet zijn op \(\mathbf{T}=0, \mathbf{R}=\mathbf{A}=0\) en dat betekent dat er geen golven zijn bij nergens.

We moeten terugkeren naar de wiskundige benadering van het probleem. Laten we de totale reflectie interpreteren vanuit het gezichtspunt van de golfvectoren; voor \(\theta>\theta_{C}\)

\[
k_{x}^{\prime}=k_{x}=\frac{\omega}{c} n \sin \theta>n^{\prime} \frac{\omega}{c} \notag
\]

Dat wil zeggen dat een component van de golfvector groter moet zijn dan zijn module. We kunnen dit alleen aanpakken door de module te vergroten, dat wil zeggen door een complexe golfvector aan te nemen.

\[
\begin{uitgelijnd}
\mathbf{k}_{c}^{\prime} &=\mathbf{k}^{\prime}+i \mathbf{a}^{\prime} \\
\mathbf{k}^{\prime 2}-\mathbf{a}^{\prime 2} &=n^{\prime 2} \frac{\omega^{2}}{c^{2}}
\end{uitgelijnd}
\]

De uitgezonden en gereflecteerde golven zijn geen superpositie van harmonische golven met een echte golfvector, maar een complexe. En de randvoorwaarden zullen ons de waarden van de reële en denkbeeldige delen geven. De golven zullen "platte" harmonischen zijn, met het gevoel van "plat" dat al is uitgelegd en dat verschijnt wanneer de golfvector complex is (inhom*ogene vlakke golven). Wiskundig gezien voor respectievelijk de uitgezonden en gereflecteerde golf:

\[
\begin{uitgelijnd}
&\mathbf{E}_{t}=\mathbf{T} e^{i\left(\mathbf{k}_{c}^{\prime} \cdot \mathbf{r}-\omega^{\ prime}t\right)}+\ldots\\
&\mathbf{E}_{r}=\mathbf{R} e^{i\left(\mathbf{k}_{c}^{\prime \prime} \cdot \mathbf{r}-\omega^ {\prime\prime}t\right)}+\ldots
\end{uitgelijnd}
\]

We moeten de hele oplossing voor het probleem reconstrueren, waarvoor we de belangrijkste stappen gaan zetten. Deze twee uitdrukkingen worden toegepast op de randvoorwaarden waar de \(\mathbf{k}_{c}^{\prime}\) bijvoorbeeld wordt bepaald op basis van de gelijkheid van de exponentiële getallen op het discontinuïteitoppervlak (zoals voorheen ). Bij \(z=0\) geldt dat

\[
\mathbf{k}_{c}^{\prime} \cdot \mathbf{r}=\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} \notag
\]

waarmee \(k_{x}=k_{c x}^{\prime}\) en \(k_{y}=k_{c y}^{\prime}\) (continue tangentiële componenten). Het invalsvlak is \(x z\). Door de keuze van de assen \(k_{c y}=0\) (de golfvector bevindt zich in het vlak \(x z\)).

\[
k_{y}^{\prime}+i a_{y}^{\prime}=0 \notag
\]

wat twee vergelijkingen waard is

\[
\begin{uitgelijnd}
&k_{y}^{\prime}=0 \\
&a_{y}^{\prime}=0
\end{uitgelijnd}
\]

dus we kunnen zeggen dat \(k^{\prime}, a^{\prime}\) zich in het invalsvlak bevinden. Met betrekking tot \(k_{c x}\)

\[
k_{x}^{\prime}+i a_{x}^{\prime}=n \frac{\omega}{c} \sin \theta \notag \]

waar vandaan

\[
\begin{uitgelijnd}
&a_{x}^{\prime}=0 \\
&k_{x}^{\prime}=n \frac{\omega}{c} \sin \theta
\end{uitgelijnd}
\]

Meer informatie over de randvoorwaarden kunnen we niet meer verkrijgen. Daarnaast weten we dat het vanwege de ecMm geverifieerd moet worden

\[
\mathbf{k}_{c}^{\prime 2}=n_{c}^{\prime 2} \frac{\omega^{2}}{c^{2}}=n^{\prime 2 } \frac{\omega^{2}}{c^{2}} \notag \]

waar vandaan

\[
\begin{uitgelijnd}
\mathbf{k}^{\prime 2}-\mathbf{a}^{\prime 2} &=n^{\prime 2} \frac{\omega^{2}}{c^{2}} \ \
\mathbf{k}^{\prime} \cdot \mathbf{a}^{\prime} &=0
\end{uitgelijnd}
\]

\(\mathbf{a}^{\prime}=0\) is een oplossing, maar is niet bruikbaar voor totale reflectie. Maar á kan alleen een component \(z\) hebben en \(\mathbf{k}^{\prime}\) kan alleen een component \(x\) hebben (deze is afgeleid van de voorwaarden)

\[
\begin{uitgelijnd}
&\mathbf{a}^{\prime}=a_{z}^{\prime} \mathbf{u}_{z} \\
&\mathbf{k}^{\prime}=k_{x}^{\prime}=n \frac{\omega}{c}\sin \theta\mathbf{u}_{x}
\end{uitgelijnd}
\]

van waar \(a_{z}^{\prime}=\frac{\omega}{c} \sqrt{n^{2} \sin ^{2} \theta-n^{\prime 2}}\) . De uitdrukking voor de uitgezonden golf is

\[
\mathbf{E}_{t}=\mathbf{T} e^{-a_{z}^{\prime} z} e^{i(k x-\omega t)} \notag \]

Conclusies uit de verkregen resultaten voor het geval van totale reflectie:

• Er is een uitgezonden golf sinds \(\mathbf{E}_{t} \neq 0\) aan de andere kant van de indexdiscontinuïteit: het is een inhom*ogene vlakke golf die vastzit aan de discontinuïteit (evanescente golf), omdat deze verzwakt exponentieel met de afstand en overleeft niet verder dan een paar golflengten. Als we het gemiddelde van de POYNTING-vector zouden berekenen, zouden we verkrijgen dat de fase en de energie zich voortplanten door het discontinuïteitoppervlak.

\[
\left\langle\mathbf{S}^{\prime}\right\rangle_{z}=0 \notag
\]

(er is geen energiestroom loodrecht op de interface).

• We hebben de spatiotemporele afhankelijkheid van de golf, hoe zit het met de amplitude T? Nu hebben we "orthogonaliteit": \(\mathbf{k}_{c}^{\prime} \cdot \mathbf{T}=0\ is geverifieerd, maar we kunnen hiervan geen gebruik maken om te zeggen dat \(\mathbf { T} \perp \mathbf{k}^{\prime}\), aangezien \(\mathbf{T}\) in het algemeen een complexe vector zal zijn. Over het algemeen zouden we moeten profiteren van de voorwaarde die wordt uitgedrukt in de vorm \(\left(\mathbf{k}^{\prime}+i \mathbf{a}^{\prime}\right) \cdot \mathbf {T}=0 \), maar dat gaan we niet doen. We zullen de oplossing direct schrijven (FRESNEL-formules).

\[
\begin{uitgelijnd}
r_{\perp} &=\frac{k_{z}-k_{c z}^{\prime}}{k_{z}+k_{c z}^{\prime}} \\
t_{\perp} &=\frac{2 k_{z}}{k_{z}+k_{c z}^{\prime}} \\
r_{\|} &=\frac{k_{z} n^{\prime 2}-k_{c z}^{\prime} n^{2}}{k_{z} n^{\prime 2}+ k_{c z}^{\prime} n^{2}}
\end{uitgelijnd}
\]

De structuur is vergelijkbaar in \(\operatornaam{los}\) gevallen \(r_{\perp}, t_{\perp}, r_{\|}\), maar met het subscript \(c\) voor de componenten van de uitgezonden golf. \(t_{\|}\) wordt echter geschreven op basis van de magnetische velden (in tegenstelling tot de andere 3) en het schrijven ervan varieert:

\[
t_{\|}=\frac{H_{\verdachte t}}{H_{\verdachte i}}=\frac{2 n^{\prime 2} k_{z}}{n^{\prime 2} k_ {z}+n^{2} k_{c z}^{\prime}} \notag
\]

de details van deze berekening zijn te vinden in [Cabrera]. We zullen de relaties vooral gebruiken voor de reflectiecoëfficiënten.

• De reflectiecoëfficiënten zijn complex, aangezien \(k_{c z}^{\prime}\) complex is:

\[
k_{z}=n \frac{\omega}{c} \cos \theta \notag
\]

\[
k_{c z}^{\prime}=i \frac{\omega}{c} \sqrt{n^{2} \sin ^{2} \theta-n^{\prime 2}} \notag
\]

dingen blijven

\[
r_{\perp}=\frac{n \cos \theta-i \sqrt{n^{2} \sin ^{2} \theta-n^{\prime 2}}}{n \cos \theta+i \sqrt{n^{2} \sin ^{2} \theta-n^{\prime 2}}} \notag
\]

Omdat de teller en de noemer complexe conjugaten zijn, is aan de belangrijke relatie voldaan

\[
\left|r_{\perp}\right|=\left|r_{\|}\right|=1 \notag
\]

waardoor ze kunnen worden geschreven als \({ }^{1}\)

\[
\begin{uitgelijnd}
r_{\|} &=e^{i \delta_{\|}} \\
r_{\perp} &=e^{i \delta_{\perp}}
\end{uitgelijnd}
\]

\(\operatornaam{con} \delta _{\|} \mathrm{y} \delta _{\perp}\) nog te bepalen

\[
r_{\perp}=\frac{e^{i \frac{\delta_{\perp}}{2}}}{e^{-i \frac{\delta_{\perp}}{2}}}= \frac{\cos \frac{\delta_{\perp}}{2}+i \sin \frac{\delta_{\perp}}{2}}{\cos \frac{\delta_{\perp}}{ 2}-i \sin \frac{\delta_{\perp}}{2}} \notag
\]

waarmee we de raaklijn kunnen verkrijgen

\[
\tan \frac{\delta_{\perp}}{2}=-\frac{\sqrt{\sin ^{2} \theta-\left(\frac{n^{\prime}}{n}\right )^{2}}}{\cos \theta} \notag
\]

maar wat echt nuttig voor ons zal zijn, is

\[
\tan \left(\frac{\delta_{\perp}-\delta_{\|}}{2}\right)=\frac{\cos \theta \sqrt{\sin ^{2} \theta-\left (\frac{n^{\prime}}{n}\right)^{2}}}{\sin ^{2} \theta} \notag
\]

• Het belangrijkste: complexe aantallen eenheidsmodulus en verandering van polarisatietoestand: licht met rechtlijnige polarisatie zal over het algemeen elliptisch gepolariseerd worden, afhankelijk van het faseverschil van de vorige formule (daarom hebben we dit afgeleid).
• We hebben al manieren om de polarisaties te verkrijgen die we willen: BREWSTER-hoekinval geeft ons rechtlijnige polarisatie, normale reflectie en transmissie geven ons azimutveranderingen binnen de rechtlijnige polarisatie, en totale reflectie geeft ons elliptische polarisatie. We zullen echter comfortabelere methoden vinden om de gewenste polarisatietoestand te verkrijgen in de daaropvolgende ontwikkeling van het onderwerp.

_{__________________________________________________________________________________}

^{1. aandacht in de bibliografie voor de tekenconventie in de complexe exponentiële: de daaropvolgende formules zijn afhankelijk van die conventie.}